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Satz des Pytha­go­ras — Entstehungstheorie

Zunächst ist es bekannt, dass die­ser spe­zi­elle Lehr­satz bereits in ande­ren Kul­tu­ren ver­wen­det wurde und sei­nen Ursprung nicht allein bei dem berühm­ten Mathe­ma­ti­ker Pytha­go­ras fand. Ins­be­son­dere die Ägyp­ter führ­ten zahl­rei­che Berech­nun­gen im Zusam­men­hang mit der Archi­tek­tur ver­schie­de­ner Gebäude, vor­ran­gig der Pyra­mi­den aus. Deut­lich wird dies darin, dass sie Seil­span­ner benutz­ten, wel­che zur Kon­struk­tion von Drei­ecken mit einem rech­ten Win­kel ver­wen­det wur­den. Bei die­sen Über­le­gun­gen bezo­gen sie die Umkeh­rung des spä­te­ren des Sat­zes des Pytha­go­ras in die Kon­struk­tion ein. Diese Ver­sion der mathe­ma­ti­schen Dar­stel­lung soll zum Modell des Satz des Pytha­go­ras geführt haben.
In der wei­te­ren geschicht­li­chen Ent­wick­lung spielte der Satz des Pytha­go­ras auch bei den Baby­lo­ni­ern eine wich­tige Rolle. Sie kann­ten anhand von auf­ge­fun­de­nen Ton­ta­feln den mathe­ma­ti­schen Zusam­men­hang für den Spe­zi­al­fall des gleich­schenk­li­gen recht­wink­li­gen Drei­ecks eben­falls.
Die Grie­chen waren zudem dafür bekannt, dass sie bereits mathe­ma­ti­sche und geo­me­tri­sche Berech­nun­gen auf der Basis des Satz des Pytha­go­ras aus­führ­ten. Dies ist auch für die Inder zutref­fend. Lei­der ist der sichere Ursprung die­ses mathe­ma­ti­schen Lehr­sat­zes nicht mehr bis ins kleinste Detail nach­zu­voll­zie­hen. Nach dem Mathe­ma­ti­ker und Gelehr­ten Euklid ist die Ent­ste­hung des Sat­zes dem Mathe­ma­ti­ker und Leh­rer Pytha­go­ras zuge­schrie­ben wor­den.
In der heu­ti­gen Zeit wird der Satz des Pytha­go­ras als eine der grund­le­gen­den Erkennt­nisse und Gesetze der soge­nann­ten eukli­di­schen Geo­me­trie bezeichnet.

Der Satz des Pytha­go­ras von Samos

Der Satz fin­det zunächst sei­nen Aus­druck in einer For­mel mit unter­schied­li­chen Varia­blen, wel­che für spe­zi­elle Ele­mente eines recht­wink­li­gen und gleich­schenk­li­gen Drei­ecks ver­wen­det wer­den. So kann der Satz des Pytha­go­ras sowohl in einer For­mel als auch in Wor­ten aus­ge­drückt wer­den.
Er lau­tet fol­gen­der­ma­ßen: In einem recht­wink­li­gen Drei­eck ist das Qua­drat der Hypo­the­nuse gleich der Summe der Kathe­ten­qua­drate der Kathe­ten.
Dabei wird mit Hypo­the­nuse die Seite des Drei­ecks bezeich­net, wel­che die längste Seite dem Drei­eck ist. Sie liegt immer dem rech­ten Win­kel des Drei­ecks gegen­über. Als Kathe­ten wer­den die dem rech­ten Win­kel anlie­gen­den Schen­kel benannt. In die­ser unver­än­der­ten Form wird der Satz des Pytha­go­ras auch heute an den Schu­len gelehrt. Er stellt die Grund­form der Aus­sage: Die Summe der Qua­drate über den Kathe­ten ist gleich dem Qua­drat der Hypo­the­nuse dar.
a² + b² = c².

Die in der Geschichte vor die­ser Aus­sage bewie­sene Umkeh­rung heißt: Wenn die Glei­chung a² + b² = c² gilt, dann han­delt es sich in jedem Fall um ein recht­wink­li­ges und gleich­schenk­li­ges Drei­eck.
Dane­ben exis­tiert noch eine erwei­terte Vari­ante, wel­che sich im bekann­ten Kosi­nus­satz, einer der Win­kel­funk­tio­nen im Bereich der Tri­go­no­me­trie, dar­stel­len lässt. Die For­mel dazu lau­tet :
a² + b² — 2 x cos …x a x b = c². x steht für die Malfunktion

Zur bes­se­ren Ver­ständ­lich­keit und zur Anschau­lich­keit führt es, wenn der Satz des Pytha­go­ras in der ers­ten Stufe an einem recht­wink­li­gen gleich­schenk­li­gen Drei­eck geo­me­trisch kon­stru­iert wird.

Bedeu­tung des Sat­zes des Pytha­go­ras im all­täg­li­chen Gebrauch

So, wie alle Völ­ker vor uns den Satz des Pytha­go­ras für geo­me­tri­sche Berech­nun­gen und Dar­stel­lun­gen in Bezug auf den Bau von Gebäu­den und Bewäs­se­rungs­an­la­gen nutz­ten, so dient er den Men­schen auch heute noch zu die­sem Zweck.
Von all­täg­li­chen zu lösen­den prak­ti­schen Auf­ga­ben ist eben­falls aus­zu­ge­hen, wobei der Satz des Pytha­go­ras eine unmit­tel­bare Anwen­dung fin­den kann. Dabei kann die Berech­nungs­mög­lich­keit sowohl für ein­fa­che Zwe­cke als auch bei hoch­kom­pli­zier­ten Vor­ha­ben durch­aus eine grund­le­gende Hilfe dar­stel­len oder das Pro­jekt über­haupt erst aus­führ­bar machen. Vom Auf­stel­len eines Net­zes für Ten­nis­spie­ler bis hin zum Bau einer moder­nen Brü­cke wird der Satz des Pytha­go­ras in vie­len prak­ti­schen Berei­chen ein­ge­setzt. Auch im kart­he­si­schen Kar­ten­sys­tem fin­det der Satz des Pytha­go­ras Anwendung.

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